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[理论分析]科里奥利力的成因和数学解释

楼主#
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科里奥利力是大气科学中一个重要的物理量. 没有了科里奥利力, 那气旋, 反气旋等天气系统都将不复存在. 本文着重与科里奥利力的成因对它和其水平分量――地转偏向力的性质进行探讨.
一. 矢量的引入与运算
矢量是既具有大小, 又具有方向的物理量, 如速度, 位移等. 本文因不可避免地将涉及到矢量及其运算, 故对其作简要的说明.
(1) 矢量的符号均用粗体字或者箭头上标表示, 形如: F,

图片:AB.png

;
(2) 矢量的模长(大小)用相应的标准体字或者绝对值表示, 形如: F,

图片:AB绝对值.png

.
1. 矢量的点积(a·b)
两个矢量的点积为标量, 其运算公式为a·b = |a||b|cosθ (θ为两个矢量的夹角). 关于矢量的点击, 本文不再多作繁述.
2. 矢量的叉积(a×b)
两个矢量的叉积为一个新的矢量, 不妨设该矢量为c.
矢量c的方向可由右手螺旋定则确定(如图1-2-1): 将右手掌面平行于矢量a, 手指指向a的末端, 再将手指弯曲指向矢量b, 且弯曲程度不超过π, 此时大拇指所指的方向即为矢量c的方向. 可知矢量c是垂直于矢量a, b所决定的平面的.

图片:1-2-1.png


矢量c的模长可由公式|c| = |a×b| = |a||b|sinθ 得到.
下面举一个特例(如图1-2-2): 有一个转盘以ω的角速度逆时针转动. 事实上, 角速度ω可以看成一个矢量ω. 其方向也可以用右手螺旋定则确定: 将右手手指沿转动方向弯曲, 大拇指所指即为ω的方向(在本例中垂直于盘面向上). 现取转盘边缘上的一质点M, 转轴中心OM的位置矢量

图片:OM.png

= R, 则可得M点的速度v =ω× R.
该质点的速率v = ωR sin<ω, R >, 不难得<ω, R > = π/2, 原式可化为v = ωR是符合事实的
.

图片:1-2-2.png



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avril
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发布于:2011-03-07 21:05
二. 非惯性系与惯性力
现忽略地球自转, 设一个封闭小车在地面以加速度a由静止开始向右加速(如图2-0-1).

图片:2-0-1.png


小车的右上角放有一个小球, 小车相对于地面开始加速的同时, 无初速度释放小球, 最后小球落在小车的左下角. 不难理解, 小球释放后作自@由落体运动, 当它落到小车的底部时, 由于小车的运动, 小球会向左偏移一段距离, 而不是落在悬挂点的正下方. 然而, 小车内的观察者对小球进行受力分析时, 由于不知道小车的运动情况, 牛顿运动定律就无法解释小车的偏移了. 为了保证小球的运动仍然符合牛顿运动规律, 观察者必须人为地引入一个力F, 有了这个“虚拟力”, 就不难解释小球在车内会沿斜线向左下落了.
同时, 容易得到F = -ma.
形如上文中的小车就是一个典型的非惯性系, F就是该系的惯性力.
众所周知, 地球是一个球面且在不停地自转, 其表面各处的线速度也不尽相同, 这就必然使相对于地球表面静止的物体相对于地心(可视为惯性参考系)存在加速度. 因此.地球参考系并非是一个严格的非惯性系统. 这个加速度在日常生活中是感觉不到的, 但在涉及长距离运动或者流体运动时就会明显地表现出来. 在研究地球表面气流运动时必须把地球当成转动参考系. 科里奥利力就是一个由地球自转而产生的一种惯性力.
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发布于:2011-03-07 21:05
三.   科里奥利力的直观解释(以北半球为例)
上例中, 小车参考系各部分速度是相同的, 惯性力F是因参考系自身的固定加速度而产生的, 属于平动惯性力. 然而作为一个旋转的球体, 地球在不同纬度和不同海拔高度的线速度, 加速度均不同, 这就使科氏力的产生方式比上文中的力F复杂的多.
值得一提的是, 由于地球自转产生向心加速度的原因, 地球表面的物体受到的重力会向赤道(低纬)方向产生一个偏移. 这个偏移分量是有物体的质量和所在纬度决定的, 是一个实际存在的力, 与科氏力无关. 现在有许多解释在涉及物体的纬向运动时会把该力作为科氏力(或它的一个分力), 是错误且荒谬的.
定性地来说, 科里奥利力是由于在旋转参考系中运动的物体进行直线运动时, 与参考系的相对速度发生变化从而与参考系产生位移偏量而引入的惯性力.
上面的说明过于拗口, 故从纬度和海拔高度两个角度进行解释.
1.       纬度差异产生的科里奥利力的解释(以向北运动物体为例)

图片:3-1-1.png




为了直观起见, 将地球表面简化为平面模型.
如图3-1-1所示, 建立一个惯性坐标系(视为绝对静止). 起始时, 一个物体mμN, (λ+△λ)E的M处以uy的速度相对于点M处向北运动, 表面上来看物体m应该会运动到M正北方向的N处(纬度为(λ+△λ)E). 但是M处地球自转产生的线速度V要大于高纬度N处的线速度v的大小, 而物体m由于惯性始终保持V的线速度. 一段时间后, 因地球自转, M转到了M′处, N转到了N′处(因为球面化平面产生的错觉, 实际上

图片:MM.NN.png

). 这时m运动到了N所在的纬度, 但是它比N转动的更快些, 所以超前到达了m′处. 从地球外的观察者看, 物体m的轨迹应该是绿色的曲线; 但是从站在M(M′)处的观察者来看, 物体m的轨迹却是红棕色的曲线, 比预想的正北路线向右偏了一段位移△x, 即科氏力所表现的位移.

平行于地表运动的物体具有经向速度时, 主要表现为本例中科氏力产生的偏移, 不妨将这种科氏力称作“第一类科氏力”.
1. 海拔高度差异产生的科里奥利力的解释(以向东运动物体为例)

图片:3-1-2.PNG



如图3-1-2所示, 以地球北半球某剖面的圆心O建立惯性系(视为绝对静止). 起始时, 一个物体m在地表的M处以uh的初速度相对地表竖直向上运动, 表面上来看物体m应该会运动到点M正上方△h高的N处. 但是M处因地球自转产生的线速度v要小于高海拔N处的线速度V的大小, 而物体m因惯性仍保持v的速率. 一段时间后, 因地球自转, M转到了M′处, N转到了N′处. 这时m运动到了N所在的海拔高度, 但是它因为切向速率v始终小于高海拔处的切向速率, 故逐渐落后,最后到达与N′同海拔的m′处. 从地球外的观察者看, 物体m的轨迹应该是绿色的曲线; 但是从站在M(M′)处的观察者来看, 物体m的轨迹却是红棕色的曲线, 比预想的竖直路线向右(后方)偏移了一段位移△x, 即科式力所表现的位移.
平行于地表运动的物体具有纬向速度时, 表现为本例中科氏力产生的偏移(尽管本例中的物体速度是竖直向上), 不妨将这种科氏力称作“第二类科氏力”.

事实上“第一类科氏力”和“第二类科氏力”在本质上没有区别, 都是由于旋转参考系中的不同位置具有不同的线速度而产生的, 本文仅根据它们因纬度差异和海拔差异产生而加以区别.

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发布于:2011-03-07 21:05
一.   水平运动物体的科里奥利力和地转偏向力的数学推导
与第三章的例子不同, 地球表面运动的物体还受到重力等其他因素的束缚, 它受到的科氏力竖直向上的分力会被地面支持力或者周围物体的作用力抵消, 很大一部分只是贴在地表或者局限于某一个层面运动. 这是使该物体偏移的就是科氏力的水平分量, 即大家耳熟能详的地转偏向力. 本章将对两类科氏力及相应的地转偏向力进行推导, 从而推导出任意水平运动状态下的科氏力及相应地转偏向力, 首先作出如下的假设:
(1)    忽略地球的公转, 黄赤交角以及其它天体的影响;
(2)    认为地球是一个绝对球体, 且密度均匀, 没有空气阻力;
(3)    本文涉及的速度都不太大, 可忽略相对论效应;
事实上, 任何转动参考系中不仅要引入科氏力, 还要引入惯性离心力; 其中科氏力因物体在旋转体系中有位置变化(或趋势)产生, 而惯性离心是由参考系作圆周运动产生(相对静止的物体也收惯性离心力作用, 却不受科氏力作用). 这两个惯性力就像一对“难兄难弟”, 形影不离. 为了尽量避免惯性离心力的干扰, 下文中的模型只在时间变量t趋近于0时有意义. 尽管如此, 仍可能会产生疏漏, 请多多包涵.
1. “第一类科里奥利力”及其地转偏向力的推导(以北半球为例)

图片:4-1-1.png


如图4-1-1所示, 在北半球纬度φO周围取一块微球面, 化简为微平面, 并建立直角坐标系xOy. 一个质量为m的物体从点O出发, u = (0, uy)的经向速度相对点O运动, 且运动过程中借助了某外力从而抵消了所受重力. 其中uy可以任意取正负, 图中显示的是uy是正值的情况. 物体所在x轴的线速度比纬度高了△φM点的线速度要大, 故物体相对于M点还有一个△v的纬向速度. 过了一段时间t, 物体到达与M同纬度的N, 其中Y是经向位移, X是科氏力产生的位移.
4-1-2该物体运动的侧视图, 可知物体在经向运动的过程中会有海拔增高的趋势, 故其同时受到“第一类科氏力”和“第二类科氏力”的作用. 但是通过计算不难得到, 物体的海拔增高趋势△h和所在位置的圆周半径变化趋势△R相比是一个更高阶的无穷小量, 所以该物体受到的“第二类科氏力”同“第一类科氏力”相比可以忽略, M(N)处的海拔高度也可以忽略.
推导过程如下:
易得物体的经向位移

图片:1-1.png

                               (1-1)

而又有

图片:1-2.png

                                          (1-2)

联立(1), (2)两式,

图片:1-3.png

                              (1-3)

根据地球自转线速度和角速度的关系, 可得

图片:1-4.png

                                (1-4)

联立(3), (4)两式, 可得科氏力产生的位移

图片:1-5.png

                        (1-5)

由于物体运动的时间t很小, 科氏力Fc可以看成一个恒力, 设它产生的速度和加速度分别为vc, ac, 则根据运动学原理

图片:1-6.png

 
     
联立(6), (7)两式得

图片:1-8.png

                               (1-8)

联立(3), (5), (8), 结合牛顿第二定律, 得科氏力

图片:1-9.png




                                                       (1-9)

因为t趋向于0, 其中

图片:limit1.png


得出“第一类科氏力”的大小

图片:1-10.png

                                         (1-10)

很显然,此类科氏力的方向是垂直于和uyω(由南极点指向北极点)所在的平面并偏向uy的右侧且uyω的夹角恰为φ.
根据矢量的叉积可得    Fc = 2muy×ω                    (1-11)
“第一类科氏力”的方向平行于地面, 全部表现为地转偏向力, 即地转偏向力的大小

图片:1-12.png

                                          (1-12)

推导完毕.


①证明如下:
根据几何关系易得

图片:zhengm.png


证毕.
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avril
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2. “第二类科里奥利力”及其地转偏向力的推导(以北半球为例)

图片:4-2-1.png


如同4-2-1所示, 以在北半球纬度φO为原点, 以O附近的的一段纬圈为x轴, O所在的纬圈的半径为h轴(形如图4-2-2所示), 建立直角坐标系hOx, 并指定向东, 由O0指向O分别为为x轴, h轴正向. 一个质量为m的物体从点O出发, 以u = (0, ux)的纬向速度相对点O向地面的M运动, 且运动过程中借助了某外力从而抵消了所受重力. ux可以任意取正负, 图中显示的是uy是正值的情况. 因为地表是一个球面, 所以物体会有海拔升高的趋势, 它受到的是“第二类科里奥利力”. 物体所在地表的线速度要小于高空距离△h H处的线速度, 不难理解物体相对于H的相对速率不足ux.(注: 高空距离h并非海拔高度!请观察图4-2-2)
过了一段时间t后, 物体到达了N处(|OM|=|ON|), 而H也因为有相对较大的线速度运动到了H′的位置. 考虑到H(H′)和O是始终在同一个纬圈半径内的, 故此时的h轴变为了h′, 相应的水平轴也变为了x′, 与原轴有了ψ的偏角. 图中

图片:MN.png

的即科氏力产生位移X.

证明过程如下:
易得坐标系hOx中点N的坐标

图片:N.png

, M点的坐标

图片:M.png


于是有

图片:2-1.png

                   (2-1)

H与原点O的相对速度

图片:2-2.png

                           (2-2)

结合(2)式, 得

图片:2-3-a.png


   

图片:2-3-b.png

          (2-3)

位移X的纵坐标与横坐标相比, 有

图片:2-4.png

                           (2-4)

与第1节相同,科氏力Fc可以看成一个恒力, 设它产生的速度和加速度分别为vc, ac.
根据(4)式, 位移X的纵向偏移是横向偏移的高阶无群小量, 即可以忽略不计. 这说明运动开始时

vc = 0.
故可类比(1-6)至(1-8)各式得

图片:1-8.png

                       (2-5)

由(1)式得    

图片:2-6.png

                                                      (2-6)


由(3)式得

图片:2-7.png

                                 (2-7)

联立(1), (3)式得

图片:2-8.png

                     (2-8)

联立(5), (8)式得科氏力    

图片:2-9.png



                                                       (2-9)


因为t趋向于0, 亦可得                                    

图片:limit2.png


得出“第二类科氏力”的大小

图片:2-10.png

                                             (2-10)

同时由(4)式可得该类科氏力的方向是由纬圈平面的径向向外, 如图4-2-2所示. 此时uxω互相垂直, 故根据矢量的叉积可得  
Fc = 2mux×ω       (2-11)
“第二类科氏力”与竖直面有一个φ的夹角, 因此相应的地转偏向力的大小

图片:2-12.png

                                         (2-12)

推导完毕.


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发布于:2011-03-07 21:09
3. 推广与杂例
形如图4-1-1的坐标系中, 物体有任意方向的水平速度u = (ux, uy)时, 它所收的两类科氏力分别为Fc1 = 2muy×ωFc2 = 2mux×ω, 所以物体的总科氏力为Fc = Fc1+ Fc2
   Fc = 2mu×ω                                  (3-1)
由图4-1-1和图4-2-2可得两类科氏力的地转偏向力分量的互相垂直, 则有
    即

图片:3-2.png

      (3-2)
在北半球, 地转偏向力总指向物体运动方向的右侧.
以上(1)式和(2)式就是一般情况下科里奥利力和相应地转偏向力的表达式.
网球运动员发球时, 球速可以达到200km/h以上, 设网球飞行15m后落地, 不考虑空气阻力的影响, 并假设网球的水平球速保持在200km/h, 网球长的纬度为30N(地球自转角速度为7.27×10-5rad/s). 可估算地转偏向力产生的偏移如下:

球的飞跃时

图片:t.png

   
地转偏向加速度  

图片:af.png

 
偏移量

图片:X.png

     

不难发现, 日常生活中短距离运动中地转偏向力造成的影响非常小, 可以忽略不计.
如果现在是有一辆汽车以80km/h的车速从杭州驶向宁波, 其间距离为200km, 纬度为30N不变, 同理可估算地转偏向力可以产生的偏移为6.6km(上述计算将地转偏向力简化为恒力处理, 只适用于估算), 事实上汽车受到的地转偏向力被地面和空气的阻力抵消, 因此在实际生活中是没有表现出偏移的.
然而当运动的物体是飞弹, 火箭, 或者移动的气团时, 其它力的干扰明显减小, 地转偏向力产生的效果就会明显地表现出来.

五. 结论
根据以上的论述, 可得出以下结论:
(1) 科里奥利力只与水平运动的物体本身(质量, 速度)的性质有关, 但是速度矢量的方向受到了纬度的制约, 也可以认为科氏力与物体所在纬度有关.
(2)    在北半球运动的物体, 地转偏向力使它偏向运动方向右侧, 在南半球为左侧, 且随着纬度的升高, 地转偏向力就越大;
(3)    经向运动的物体, 科里奥利力全部表现为地转偏向力; 纬向运动的物体, 科里奥利力部分表现为地转偏向力;
(4)    在赤道上运动的物体通常是受到科里奥利力的, 除非该物体是纯经向运动. 然而此时物体受到的科氏力方向竖直地面向上, 因此它的地转偏向力分量为0.
推论: 科里奥利力迫使赤道附近的气团向高空辐散, 从而促进了赤道低气压带的形成.


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发布于:2011-03-07 21:22
上传基本完毕了,还有一些排版上的不和@谐尽量会改正.
有两张图不是很清楚,双击一下就可以了.

水平有限, 错误在所难免, 语言有羞涩难懂之处,请大家见谅..
错误还请提出,会积极改正..
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lawrance
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发布于:2011-03-08 10:55
请问是楼主自己写的,还是转载的
欢迎TC们,坐巴士,牵男孩,品猪脚
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芏℃killer
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发布于:2011-03-08 12:48
懂了……

但按照这个解释,纬向分速度不会产生地转偏向力?
南印度洋温带气旋110902SI01:EC:<940,GFS:923.9!
http://forum.typhoon.gov.cn/read.php?tid=44978
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lawrance
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发布于:2011-03-08 15:30
"值得一提的是, 由于地球自转产生向心加速度的原因, 地球表面的物体受到的重力会向赤道(低纬)方向产生一个偏移. 这个偏移分量是有物体的质量和所在纬度决定的, 是一个实际存在的力, 与科氏力无关. 现在有许多解释在涉及物体的纬向运动时会把该力作为科氏力(或它的一个分力), 是错误且荒谬的. "
这个应该就是地球和物体之间的万有引力,跟科氏力是不一样的
PS:看推导很有感觉啊
欢迎TC们,坐巴士,牵男孩,品猪脚
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typhoonfreak
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发布于:2011-03-08 16:25
樓主這是論文等級的阿..Orz

先前我有整理過天氣學的筆記~裡面關於科氏力的部份我把它再截錄出來一次
下面的觀點是純粹就大氣的角度來說明推導科氏力~屬於比較直觀的論述~供大家一同參考比較
礙於方程式都是圖片檔案無法複製~因此詳細過程以附件型式上傳
----------------------------------------------------------------------------------------------

離心力與科氏力都是視示力的一種,所謂視示力並不是真實作用在大氣上的力,而是因為觀察者觀察大氣運動所在的座標出現轉換,造成視覺上產生了加速度,因而必須導入視示力來滿足牛頓運動定律的假設,實際上視示力並不存在。

通常在觀察地球上的大氣運動時,多半會取用一個隨地球一起轉動的旋轉座標,例如我們要觀察一個在地表附近靜止不動的氣塊,當我們站在隨地球一起轉動的旋轉座標中(也就是地球表面上)觀察此氣塊時,我們會認為它是靜止不動的。

但是相反的,如果我們站在一個不隨地球一起轉動的固定坐標系中觀察(例如地球附近的太空中),此時會發現此這個氣塊並非靜止,而是跟著地球旋轉而呈現加速度移動,這是因為氣塊所在的旋轉座標系本身也是隨地轉在運動的關係。

根據牛頓運動定律的原理,一物體運動時有加速度產生就表示有受力,但實際上我們知道這個力量並不存在,單純只是因為我們觀察的座標從隨地球轉動的旋轉座標換到了不隨地球轉動的固定座標系所造成的視覺差異的結果。但是為了滿足牛頓運動定律的定義,所以我們必須導入一個假設的視示力來解釋。

以下分別解釋說明「離心力&#65379;以及「科氏力&#65379;。

(請參閱以下附件)
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離心力與科氏力.doc (165KB)  16 2011-03-08 16:25
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发布于:2011-03-08 16:33
引用第8楼芏℃killer于2011-03-08 12:48发表的 :
懂了……
但按照这个解释,纬向分速度不会产生地转偏向力?


我也困惑了这个问题好长时间后才"差不多"想明白的..
 
这么说吧, 以北半球为例, 一个物体纬向运动.

图片:123.png


假设该物体顺着自转角速度运动(即向东),地面上的点同时也在向"下"转,物体就相对于地面升高了.如上面那个纬圈.
假设该物体逆着自转角速度运动(即向西),地面上的点同时也在向"上"转,物体就相对于地面下降了.如下面那个纬圈.
而向"上"和向"下"并不是纯粹的海拔升高和降低,而是沿着纬圈半径向外和向里,实际上在地面上看是斜着的.
然后那个向上案例的位移就可以用这张图表示:

图片:复件 123.png


不难看出有个像南的分量吧.
但是实际上地球作为一个球面不管向东向西物体都有上升的趋势,这似乎是惯性离心力的关系,图中因为比例不协调把它放大了,其实通常惯性离心力(-w^2R)要比科氏力小.因此后面的推导干脆认为地球不同的"高度(不是海拔高度)"上的点是由不同的线速度平动的,以减小惯性离心力的干扰.
这个纬向运动确实很抽象,尤其是对北半球向西,南半球向东的运动,此贴的解释并不太完美,很难用语言表达清楚,
 
黑体的那段话我不敢确定,希望有物理/气象达人来解释.
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avril
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12楼#
发布于:2011-03-08 16:56
回 10楼(typhoonfreak) 的帖子
其实用到的也仅仅是一个学期的高等数学和几星期的大学物理.
所以尽量避开物理,和高等数学,从纯初等几何的方面去解释...
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爱哭贪吃睡不着
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发布于:2011-03-08 17:04
看这个瞬间满脑子悲剧的天气学原理。。。
少壮不努力,不如自挂东南枝。
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芏℃killer
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发布于:2011-03-08 19:54
回 11楼(avril) 的帖子
简单地说,在万有引力被抵消的情况下,当某一纬向运动的质点,其纬向速度在其起点是切向,法向分力为0.

但一旦考虑地球弧度,那么沿着速度分量出现小位移dx以后,则个速度会出现法向分力是吧……

这样就懂了嘛……
南印度洋温带气旋110902SI01:EC:<940,GFS:923.9!
http://forum.typhoon.gov.cn/read.php?tid=44978
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nafiy
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发布于:2011-03-08 20:48
表示第二类科氏力跟转盘一个道理...
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冬腌菜
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16楼#
发布于:2011-03-08 21:28
如果要严格推导,真的是疼得离谱……

各种 phei theta t sin cos ……
正在思考径向、经向、纬向导致的科里奥利加速度是不是线性无关的。。。
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avril
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发布于:2011-03-08 21:40
大学物理教科书中的例子就是转盘,是通过惯性力求出的,不过得到的是科氏力和惯性离心力的合量。
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lawrance
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发布于:2011-03-11 23:32
问一下,科氏力的引入是非惯性参考系的人们为了便于描述他们所观察到的现象而引入的,就如同非惯性力一样,而处于惯性参考系的人就不用引入这个力啦,那么处于地球之外的这个惯性参考系的人观察地球,又怎么解释地球上由于这个科氏力而引起的热带气旋的形成呢?
欢迎TC们,坐巴士,牵男孩,品猪脚
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avril
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发布于:2011-03-12 13:05
引用第19楼lawrance于2011-03-11 23:32发表的  :
问一下,科氏力的引入是非惯性参考系的人们为了便于描述他们所观察到的现象而引入的,就如同非惯性力一样,而处于惯性参考系的人就不用引入这个力啦,那么处于地球之外的这个惯性参考系的人观察地球,又怎么解释地球上由于这个科氏力而引起的热带气旋的形成呢?


热带气旋中的质点受力很复杂,不仅有科氏力,还有粘滞阻力,气压梯度力等等.
从地球外的参考系观察的话,科氏力不再适用,质点的轨迹肯定不是卫星动画里所显示的那样.
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随手的沙
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发布于:2014-03-13 15:02
不断学习中
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发布于:2015-05-27 15:08
佩服!逻辑严密,思维清晰,语言很简单,可读性很强,获益匪浅,谢谢!
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地狱守护神
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发布于:2015-06-03 01:28
原先我也想发这么一个讲科氏力的贴,似乎我也就这点贡献了。
结果还被楼主抢了。。。
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beta
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发布于:2015-06-03 09:45
地狱守护神锛氃任乙蚕敕⒄饷匆桓鼋部剖狭Φ奶坪跷乙簿驼獾愎毕琢恕
结果还被楼主抢了。。。
鍥炲埌鍘熷笘
楼主这都是2011年的贴了好吗
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地狱守护神
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发布于:2015-06-03 12:14
beta锛毬ブ髡舛际2011年的贴了好吗鍥炲埌鍘熷笘
1条评分, 金钱 +0
  • Luigi728
    金钱 +0
    請不要發無意義帖子...
    2015-06-03 12:59
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火寻
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发布于:2015-06-03 15:03
公式推导

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1条评分, 威望 +5
  • Luigi728
    威望 +5
    優秀帖
    2015-06-03 15:24
强大与毁灭
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qjx2921038asd12
积雨云
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发布于:2017-05-22 18:15
感谢分享
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游客

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